1. 集合的定义
集合是由一组不同的对象组成的整体。这些对象称为集合的元素或成员。集合通常用大写字母表示，其元素用小写字母表示。用花括号{}表示一个集合，花括号内是集合的元素。
例如：
- 集合A = {1, 2, 3, 4, 5}
- 集合B = {a, b, c, d}
2. 集合的表示方法
集合可以有不同的表示方法，主要有两种：
- 列举法：直接列出集合的所有元素。例如，A = {1, 2, 3}。
- 描述法：用性质描述集合中的元素。例如，B = {x | x是小于10的自然数}。
3. 常见的集合
- 空集：不包含任何元素的集合，记为∅或{}。
- 全集：包含讨论范围内所有元素的集合，通常记为U。
- 自然数集：记为N，例如，N = {0, 1, 2, 3, …}。
- 整数集：记为Z，例如，Z = {…, -2, -1, 0, 1, 2, …}。
- 有理数集：记为Q，包括所有能表示为整数比的数。
- 实数集：记为R，包括所有有理数和无理数。
4. 集合之间的关系
- 子集：如果集合A的所有元素都是集合B的元素，则A是B的子集，记作A ⊆ B。如果A ⊆ B 且 B ⊆ A，那么A = B。
- 真子集：如果A是B的子集，但A不等于B，则A是B的真子集，记作A ⊂ B。
- 集合的相等：如果集合A和集合B包含相同的元素，则A和B相等，记作A = B。
5. 集合的运算
- 并集：两个集合A和B的并集包含所有在A或B中的元素，记作A ∪ B。例如，A = {1, 2}, B = {2, 3}，则A ∪ B = {1, 2, 3}。
- 交集：两个集合A和B的交集包含所有既在A又在B中的元素，记作A ∩ B。例如，A = {1, 2}, B = {2, 3}，则A ∩ B = {2}。
- 差集：集合A与集合B的差集包含所有在A中但不在B中的元素，记作A – B。例如，A = {1, 2}, B = {2, 3}，则A – B = {1}。
- 补集：相对于全集U，集合A的补集包含所有不在A中的元素，记作A’或U – A。
6. 集合的性质
- 交换律：
- A ∪ B = B ∪ A
- A ∩ B = B ∩ A
- 结合律：
- (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
- (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
- 分配律：
- A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
- A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
- 德摩根律：
- (A ∪ B)’ = A’ ∩ B’
- (A ∩ B)’ = A’ ∪ B’
7. 例题
- 例题1：设A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，求A ∪ B, A ∩ B, A – B。
- A ∪ B = {1, 2, 3, 4}
- A ∩ B = {2, 3}
- A – B = {1}
- 例题2：证明德摩根律 (A ∪ B)’ = A’ ∩ B’。
- 证明：(A ∪ B)’ 表示不在A ∪ B中的元素，即既不在A也不在B的元素。这些元素即为A’ ∩ B’，所以(A ∪ B)’ = A’ ∩ B’。
这些是集合的基本概念和性质，在微积分中，集合的理解是非常基础和重要的。希望这些详细的笔记对你有帮助！